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Hermitesche Polynome

Hermitesche Polynome

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgender Darstellung: :

H_n(x)=(-1)^n e^ \frac e^.

Die ersten zwei lauten explizit :

H_0(x)=1,\qquad H_1(x)=x.

Die Folgenden lassen sich einfach nach dieser Rekursionsformel berechnen: :

\qquad H_(x) = xH_n(x) - nH_(x),

also z. B.

H_2(x)=x^2-1.

Daran sieht man schnell, dass

H_n(x)

ein Polynom von Grade n ist, denn zur höchsten Potenz von x wird immer ein weiteres x multipliziert. Für gerade n treten ausschließlich gerade Potenzen von x auf, entsprechend für ungerade n nur ungerade Potenzen. Die Hermiteschen Polynome sind die partikulären Lösungen, d.h. jeweils zu einem festen n, der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung: :

y

-xy'+ny=0,\qquad (n=0,1,2...).
Orthogonal
Die Hermiteschen Polynome erfüllen eine Orthogonalitätsrelation : $\int_^ e^H_n(x) H_m(x) dx= n! \sqrt\delta_.$ Das heißt, dass bestimmte Funktionen von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können. Ihre Bedeutung erhalten sie durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der Gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.
Literatur

- I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. Aufl. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
- Abramowitz und Stegun, Pocketbook of Mathematical Functions
- Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill Kategorie:Analytische Funktion

Charles Hermite
Charles Hermite (
- 24. Dezember 1822 in Dieuze (Lothringen), † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Hermite verließ als Student die École Polytechnique im Streit, nachdem ihm wegen unzureichender Leistungen strenge Bedingungen auferlegt wurden. In den folgenden Jahren entwickelte er sich aus eigener Kraft, im Austausch insbesondere mit Joseph Liouville, zu einem produktiven Mathematiker. 1848 wurde er Lehrbeauftragter, 1869 Professor an der École Polytechnique; von 1876 bis 1897 unterrichtete er nur noch an der Sorbonne. 1856 wurde er in die Académie des Sciences gewählt. Hermite stand in engem Austausch mit Joseph Liouville, Charles-François Sturm und Augustin Louis Cauchy; zu seinen Schülern gehörten Gösta Mittag-Leffler, Jacques Hadamard und Henri Poincaré; er heiratete die Schwester von Joseph Bertrand und wurde Schwiegervater von Émile Picard. Hermite arbeitete in Zahlentheorie und Algebra, über orthogonale Polynome und elliptische Funktionen. Er erzielte wichtige Ergebnisse über doppelt periodische Funktionen und Invarianten quadratischer Formen. 1858 löste er eine algebraische Gleichung 5ten Grades mit Hilfe elliptischer Funktionen. 1873 erzielte er sein wohl berühmtestes Resultat: er bewies, dass die Eulersche Zahl e transzendent ist; auf Hermites Methode baute Carl Louis Ferdinand von Lindemann 1882 in seinem Beweis der Transzendenz von π auf (Quadratur des Kreises). Folgende mathematische Dinge werden heute nach Hermite benannt:
- Die Hermitesche Differentialgleichung $y$ -cxy'+ny=0 mit n=0,1,2,..., in zwei konkurrierenden Notationen mit c=1 oder 2.
- Die Hermiteschen Polynome Hen(x) oder Hn(x), ein orthogonales Funktionensystem, das man aus partikulären Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung erhält;
- Die Hermitesche Interpolationsformel.
- Die Bezeichnung zweier Matrizen, die komplex konjugiert und transponiert zueinander sind, als Hermitesch.
Weblinks

- [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Hermite.html] Ausführliche Biographie, auf Englisch. Hermite, Charles Hermite, Charles Hermite, Charles Hermite, Charles Hermite, Charles

Polynom
In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen x. In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen.
Polynome in der elementaren Algebra

Definition
In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form : $P(x) = \sum_^n a_ix^i = a_nx^n + a_x^ + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0,$ wobei als Definitionsbereich für die Variable x jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B. ein Körper oder ein Restklassenring. Meist werden aber die reellen oder die komplexen Zahlen genommen; man spricht dann auch kurz von reellen bzw. komplexen Polynomen. Die a_i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt. Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n von x bezeichnet, dessen zugehöriger Koeffizient a_n nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert. Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. Beispielsweise ist 2x³ - 7x² + x + 3 ein Polynom vom Grad 3 mit Leitkoeffizient 2 und Absolutglied 3. Polynome des Grades
- 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P(x) = -1).
- 1 werden lineare Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x + 5).
- 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x² - 4x + 2).
- 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 4x³ - 2x² + 7x - 2).
Eigenschaften

- Polynome sind von besonderer Bedeutung, weil sie eine einfache Funktionenfamilie bilden, die insbesondere leicht zu differenzieren und integrieren sind. Daher gibt es viele Möglichkeiten, komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z. B. Taylor-Formel, Polynominterpolation).
- Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion, unabhängig von den Koeffizienten.
- Reelle Polynome ungeraden Grades haben die ganze Zahlenachse $\mathbb R$ als Wertebereich, d.h. sie sind surjektiv.
- Reelle Polynome geraden Grades haben einen Wertebereich von : $\left[y_,\,\infty\right[$ bzw. $\left]-\infty,\,y_\right]$ , je nachdem, ob der Leitkoeffizient $a_n$ positiv oder negativ ist.
Nullstellen

Allgemeine Eigenschaften
Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert $P(x)$ null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung $P(x) = 0$ . Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsbereich) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.
- Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat; dabei müssen Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom $(x-2)^2$ eine doppelte Nullstelle bei $x=2$ . Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.
- Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen exakt faktorisieren.
- Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.
Nullstellenschranken
Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n läßt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen. Wir definieren hier kurz speziell reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl $B\in\R_+$ heißt reelle Nullstellenschranke des Polynoms $f\in\R[X]$ , wenn alle reellen Nullstellen von f im Intervall $[-B,B]$ liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von f, wenn alle reellen Nullstellen von f kleiner oder gleich B sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt. Für viele reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge $N=\$ der echt negativen Koeffizienten von $f$ eine besondere Rolle. Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome $f = X^n+\sum_^a_i X^i$ sind:
- $\max\left\$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
- $\min\$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel);
- die beiden Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung bilden ein Paar aus einer unteren und einer oberen reellen Nullstellenschranke: : $n \cdot x^2 + 2 \cdot a_ \cdot x + 2 \cdot (n-1) \cdot a_ - (n-2) \cdot a_^2 = 0$
- Jedes $B\in\R_+$ , das die Ungleichung $B^n\geq \sum_^|a_i|B^i$ erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (das so definierte B ist sogar eine komplexe Nullstellenschranke für komplexe Polynome). Spezialfälle hiervon sind
- $1 + \max_^ |a_i|$ und
- $\max\left(1, \sum_^|a_i|\right)$ .
- Jedes $B\in\R_+$ , das die Ungleichung $B^n\geq \sum_|a_i|B^i$ erfüllt, ist eine obere reelle Nullstellenschranke. Spezialfälle hiervon sind
- $1 + \max_ |a_i|$ ,
- $\max\left(1, \sum_|a_i|\right)$ .
Lösungsformeln
Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen:
- Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula Falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Verfahren an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.
- Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und biquadratische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln. Für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:
- Reziproke Polynome haben die Form :: $f(x) = c_0 \cdot x^n + c_1 \cdot x^ + ... + c_1 \cdot x + c_0$ :d.h. für den $i$ -ten Koeffizienten gilt $c_i = c_ \,$ ; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mithilfe der Substitution $z = x+1/x$ (bzw. $z=x-1/x$ ) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.
- Binome haben die Form $f(x) = x^n + c\,$ :Die n Lösungen ergeben sich -je nach Vorzeichen von c- aus den de-Moivreschen-Formeln: : $x_i = \sqrt[n] \cdot (\cos\frac + i \cdot \sin\frac), \quad c \geq 0$ : $x_i = \sqrt[n] \cdot (\cos\frac + i \cdot \sin\frac), \quad c \leq 0$
- Polynome, die nur gerade Potenzen von x enthalten, haben die Form: : $f(x) = c_n \cdot x^n + c_ \cdot x^ + c_ \cdot x^ + ... + c_4 \cdot x^4 + c_2 \cdot x^2 + c_0$ : Die Lösung erfolgt durch die Substitution $z = x^2 \,$ . Hat man eine Lösung für $z_1$ gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für x abzuleiten sind: : $x_1 = \sqrt$ und $x_2 = - \sqrt$
- Polynome, die nur ungerade Potenzen von x enthalten, haben die Form: : $f(x) = c_n \cdot x^n + c_ \cdot x^ + ... + c_5 \cdot x^5 + c_3 \cdot x^3 + c_1 \cdot x$ : Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch x aus und behandelt es dann wie ein Polynom (n-1)-ten Grades, welches nur gerade Potenzen von x enthält
Polynome in der abstrakten Algebra

Definition
In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form : $f = a_n X^n + a_ X^ + \cdots + a_1 X + a_0,$ wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln :X · a = a · X für a aus R :X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n. Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.
Polynomfunktion
Indem man an Stelle von $X$ ein Element $x$ des Rings $R$ einsetzt, erhält man ein Element $f(x)$ von $R$ als Bild. Diese Zuordnung $x\mapsto f(x)$ ist eine Funktion von $R$ nach $R$ , die von $f$ induzierte Funktion, eine Polynomfunktion. In den Formeln wird dieser Unterschied nicht deutlich; meist schreibt man jedoch Unbestimmte als Großbuchstaben und Ringelemente als Kleinbuchstaben. Die Unterscheidung ist jedoch wichtig, weil verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise $R$ der Restklassenring $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , so induzieren die beiden Polynome : $f(X)=X(X-\bar1)(X-\bar2)=X^3-\bar3X^2+\bar2X=X^3-X$ und : $g(X)=0$ beide die Nullfunktion : $f(x)=g(x)=0$ für alle $x\in\mathbb Z/3\mathbb Z=\$ . Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsbereich ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.
Polynomring
Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R[X]. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R . Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren. Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.
Verallgemeinerung
Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form $a_X_i^j$ als Polynom: : $P(X_1,\, \dots,\, X_n) = \sum_ a_X_i^j$ Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als $R[X_1, \ldots, X_n]$ . Geht man zu unendlichen Reihen der Form : $f = \sum_^\infty a_i X^i$ über, erhält man formale Potenzreihen. Lässt man auch negative Exponenten zu: : $f = \sum_^\infty a_i X^i$ dann erhält man formale Laurentreihen.
Siehe auch

- Polynominterpolation
- Polynomdivision
- Cardanische Formeln Kategorie:Algebra Kategorie:Analysis ja:多項式 ko:다항식

Differentialgleichung

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die Ableitungen einer Funktion enthält. Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:
- in der Physik verschiedenste Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
- in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
- in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
- in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen.

Lösungsmethodik von Differentialgleichungen

Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren, bei der Lösung auch von Integral), muss eine Funktion

y

gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiele unten) und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab - z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert. Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung :

y

+ y = 0 \, \! dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung : $y = A \cos + B \sin \, \!$ , worin die Konstanten A, B aus den Randbedingungen folgen. Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet. Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen. Nicht jede Differentialgleichung hat eine analytische Lösung, gerade unter den nichtlinearen Differentialgleichungen findet man viele, die nicht integrabel sind. Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind # gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ordinary differential equations, ODEs): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach einer Variablen auf # partielle Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach mehreren Variablen auf. # Seltener kommen die differentiell-algebraischen Gleichungen (engl. differential algebraic equations, DAEs) vor, bei denen zusätzlich zur Differentialgleichung noch rein algebraische Nebenbedingungen eingebracht werden. Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen benutzt. Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.
Beispiele von Differentialgleichungen
Beispiele von gewöhnlichen Differentialgleichungen Beispiele von partiellen Differentialgleichungen
Siehe auch

- Integralgleichung, dynamisches System, Chaostheorie, Harmonische Schwingung, Stochastische Differentialgleichung
- Anfangswertproblem, Randwertproblem
Literatur

- L. Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2, Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden, 2001, ISBN 3-528-94237-1
Weblinks

- [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 MathePlanet: Differentialgleichungen Anleitungen zum Lösen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen]
- [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/ Mathematik-Online Kurs zum Thema Differentialgleichung der Uni Stuttgart] Kategorie:Theoretische Physik ja:微分方程式 ko:미분방정식 th:สมการเชิงอนุพันธ์

Orthogonal

Orthogonalität bezeichnet in der Mathematik das Konzept des Senkrechtstehens.

Elementargeometrie

In der Elementargeometrie heißen zwei Geraden orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn sie einen rechten Winkel, d.h. einen Winkel von 90° einschließen.

Orthogonale Vektoren

Allgemein gelten zwei Vektoren aus einem reellen Vektorraum, für den ein positiv definites inneres Produkt (oder Skalarprodukt) definiert ist, als orthogonal zueinander, wenn das innere Produkt der beiden Vektoren gleich 0 ist. Diese Vektorräume können zum Beispiel der

\mathbb^2

und der

\mathbb^3

sein, aber auch Funktionenräume. Eine Menge von Vektoren nennt man orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer linear unabhängig und bildet deshalb eine Basis der linearen Hülle dieser Menge. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die Norm 1 besitzen, nennt man die Menge ein Orthonormalsystem. Ist der Vektorraum endlichdimensional, so besitzt er immer eine Orthonormalbasis; diese lässt sich durch das Gram-Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren bestimmen.

Orthogonale Funktionen

In Funktionenräumen mit Skalarprodukt, wie Hilberträumen, ist die Definition orthogonaler Funktionen analog, so lassen sich beispielsweise orthogonale Polynome bestimmen und auch orthogonale Basen. Allerdings sind viele interessante Räume wie der L2-Raum unendlichdimensional, siehe dazu Hilbertraumbasis. In der Quantenmechanik bilden auch die Zustände eines Systems einen Vektorraum. Entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

Orthogonale Matrizen

Eine quadratische, reelle Matrix

A \isin K^

nennt man orthogonale Matrix, wenn ihre Spalten aus orthonormalen (nicht orthogonalen!) Vektoren bestehen, falls also

A^ \cdot A = I_n

(bzw.

A^=A^

) gilt. Die Entsprechung bei den komplexen Zahlen ist die unitäre Matrix.

Orthogonale Projektion

nennt man jene Abbildungen eines Urbildes (meist der Kugel) auf eine Ebene, die parallele Strahlen senkrecht auf die Projektionsebene aufweisen. Projiziert wird also aus dem Unendlichen. Für perspektive Projektionen ist dies gleichbedeutend mit der Abbildung üblicher Mondkarten der Vorder- und Rückseite. Orthogonale (oder orthografische) Projektionen der Mond- oder der Erdkugel haben aber orthogonale Breiten- und Längenkreise nur bei Polarprojektionen. Die äquatorialen und schiefachsigen Abbildungen weisen auch im Schnitt der Koordinatenlinien große Winkelverzerrungen auf. Kategorie:Geometrie Kategorie:Lineare Algebra __NOTOC__

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung dient in der Mathematik dazu, eine komplizierte mathematische Funktion durch eine unendlich lange Summe von einfachen Ausdrücken, die durch eine gemeinsame Formel beschrieben werden, darzustellen. Diese so genannte Reihe wird in der Praxis auf endliche viele Glieder reduziert, wodurch eine Näherung der exakten Funktion entsteht, die umso einfacher ist, je weniger Glieder genommen wurden, aber umso besser ist, je mehr genommen wurden. Häufig lässt sich die dadurch entstandene Ungenauigkeit (also die Größe des Restgliedes) formelhaft beschreiben. In der Mathematik tauchen zum Beispiel folgende Reihenentwicklungen auf : # Taylorreihe # Fourierreihe # Laurentreihe Kategorie:Analysis Kategorie:Folgen und Reihen

Quantenmechanik

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, die in den zwanziger und dreißiger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts vor allem von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger entwickelt wurde, um das Reich der atomaren und subatomaren Teilchen zu beschreiben. Weitere wichtige Beiträge zur Quantenmechanik wurden unter anderem von Wolfgang Pauli, Niels Bohr, Paul Dirac, Max Born und John von Neumann geleistet. Die Begriffe Quantenphysik, Quantentheorie und Quantenmechanik werden gelegentlich synonym verwendet. Oft wird, wie auch in diesem Artikel, Quantenphysik jedoch als Oberbegriff verwendet, welcher die Gesamtheit der Physik der klassisch-physikalisch nicht beschreibbaren Phänomene, die bei mikrophysikalischen Systemen auftreten, umfasst und unter Quantenmechanik das Teilgebiet der Quantenphysik verstanden, das die mathematische Beschreibung (mathematischer Teil der Quantenmechanik) und die physikalische Erklärung (physikalischer Teil der Quantenmechanik) der nachstehend aufgeführten Phänomene umfasst. Die Quantenmechanik stellt eine Hauptsäule des Theoriengebäudes der Physik dar. Die erhoffte Vereinigung mit der allgemeinen Relativitätstheorie, die eine zweite Säule repräsentiert, steht noch aus und zählt zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung. Einen Ansatz zur Lösung dieses Problems stellt die sogenannte Stringtheorie dar. Quanten- und Relativitätstheorie enthalten ihren Vorgänger, die newtonsche Physik, als Grenzfall und erfüllen damit das sogenannte Korrespondenzprinzip. Die wohl wichtigsten Phänomene, die die Quantenmechanik beschreibt, sind:
- Die Unschärferelation: Theorie, die besagt, dass es eine fundamentale Grenze für die Genauigkeit gibt, mit der sich so genannte komplementäre physikalische Eigenschaften (wie z. B. der Ort und der Impuls eines mikrophysikalischen Systems) gleichzeitig bestimmen lassen.
- Die Superposition: Quantenmechanische Zustände überlagern einander in Form ihrer Wellenfunktionen (= statistische Wahrscheinlichkeitswellen), ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.
- Die Quantenverschränkung: Räumlich getrennte Teile eines mikrophysikalischen Systems (z. B. die Einzelteilchen eines Zweiteilchen-Systems), können korrelierte Messwerte besitzen, unabhängig davon, wie weit die Teile von einander entfernt sind. Diese wie auch die anderen von der Quantenmechanik beschriebenen Phänomene werden oft als kontra-intuitiv (im Widerspruch zu den im Alltag beobachtbaren Phänomenen stehend) bezeichnet, was unter anderem darauf zurückzuführen ist, dass die meisten physikalischen Phänomene, die erst durch die Quantenmechanik befriedigend erklärbar wurden, im atomaren und subatomaren Bereich auftreten. Da die menschliche Intuition sich an den sinnlichen Erfahrungen in der Alltagswelt schult, ist es nachvollziehbar, dass eine derartige Theorie zunächst als kontra-intuitiv empfunden wird. Ähnlich wie die Relativitätstheorien hat die Quantenmechanik das Naturverständnis revolutioniert. Hinsichtlich ihres empirischen Erfolges gilt die Quantenmechanik als eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt. Über ihre angemessene Interpretation (was bedeutet die Quantenmechanik für das Universum, für uns Menschen, usw.) wird bis heute, nicht nur in Physikerkreisen, diskutiert. empirischen

Beschreibung der Theorie

Zustandsfunktion

Aufgrund verschiedener Experimente, die in den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts durchgeführt wurden, erwies sich die bis dahin angenommene klassische Beschreibung der physikalischen Welt als unzureichend. Die klassische Physik beschreibt etwa ein mechanisches System eindeutig und vollständig durch Angabe der Aufenthaltsorte und Impulse seiner Bestandteilchen. Die zeitliche Entwicklung des Systems ist die zeitliche Entwicklung der Orte und Impulse der Teilchen. Man spricht bei Ort und Impuls auch von den Zustandsvariablen des Systems. Auch Felder (z. B. Elektrisches Feld) sind in der klassischen Beschreibung durch ihre Angabe an jedem Ort im Raum eindeutig und vollständig bestimmt. Die Quantenmechanik ersetzt diese klassische Beschreibung mittels Zustandsvariablen durch eine Beschreibung mittels einer Zustandsfunktion. Die Zustandsfunktion enthält alle ein System charakterisierenden Informationen; für eine bekannte Zustandsfunktion lassen sich im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik Systemeigenschaften berechnen. Die zeitliche Entwicklung des Systems ist durch die zeitliche Entwicklung der Zustandsfunktion gegeben, welche durch die zeitabhängige Schrödingergleichung bestimmt ist. Eine Zustandsfunktion kann abhängig von unterschiedlichen Bezugsvariablen angegeben werden. Üblich sind ortsabhängige oder impulsabhängige Zustandsfunktionen, die sich mittels einer Fouriertransformation ineinander umwandeln lassen; man spricht von der Orts- oder Impulsdarstellung.

Wellenfunktion/Modell

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die instantane Zustandsfunktion eines Systems oft als Wellenfunktion bezeichnet. Die Wellenfunktion ist über einen ausgedehnten Raumbereich definiert; aus ihr lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung aller Beobachtungsgrößen des Systems berechnen. Bekannte Wellenfunktionen sind beispielsweise die Elektronenzustände fester Energie im Wasserstoffatom ("Elektronenwolke"). Hier ist das klassische System, in dem das Elektron sich um den Wasserstoffatomkern bewegt, durch ein quantenmechanisches System einer statistischen Wellenfunktion ersetzt. Die Wellenfunktion im Wasserstoffatom erlaubt etwa die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der sich das Elektron an einem bestimmten Ort im Atom aufhält. (Orbitalmodell). Orbitalmodell Die Wellenfunktionen eines Systems ergeben sich allgemein als Lösungen einer das System beschreibenden Schrödingergleichung. Für das Wasserstoffatom sind die genannten Wellenfunktionen spezielle zeitunabhängige Lösungen mit festen Energiewerten.

Welleneigenschaften

Ein Grund für die Entwicklung der Quantenmechanik war die Beobachtung, dass die klassische Beschreibung der Welt im Bereich der Atome nicht mehr gültig ist. Teilchen zeigten Eigenschaften wie Interferenz, die bislang nur von Wellen bekannt waren. Diese Eigenschaften lassen sich in der quantenmechanischen Darstellung durch Überlagerung zweier (oder mehrerer) Wellenfunktionen verstehen. Eine andere Eigenschaft quantenmechanischer Systeme ist, dass ein System sich in beliebiger Überlagerung seiner erlaubten Wellenfunktionen befinden kann. Bei einem solchen System sind dann viele verschiedene Messwerte, etwa des Aufenthaltsortes oder der Energie, möglich. Wenn man viele identische Systeme dieser Art herstellt, findet man eine Vielfalt von Messwerten. Die Verteilung dieser Messwerte ergibt sich aus dem mathematischen Formalismus der Quantenmechanik. Aus dieser Beobachtung ergibt sich die Aussage, dass in quantenmechanischen Systemen Messwerte nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten, aber nicht eindeutig bestimmt sind. Anzumerken ist hier, dass die auftretenden Messwerte immer vom Zustand des Systems abhängen. Manche Messwerte, etwa das Energieniveau eines Elektrons, das sich in einem speziellen Energiezustand im Wasserstoffatom befindet, sind genau bestimmt. Andere Systeme zum Beispiel höherer Ordnung als Wasserstoff, lassen sich nur schwer bzw. mit hohem Aufwand ermitteln.

Mathematische Formulierung

Die traditionelle mathematisch strenge Formulierung der Quantenmechanik durch John von Neumann aus dem Jahre 1932 beschreibt ein quantenmechanisches System durch Wellenfunktionen in einem komplexen separablen Hilbertraum

\mathcal

; die Wellenfunktionen

\psi

sind Elemente des Hilbertraumes. Ein wichtiges Beispiel sind die Wellenfunktionen

\psi\in L_2(\mathbb^3)

über dem Hilbertraum

\mathcal=L_2(\mathbb^3)

der komplexwertigen quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Ortsraum

\mathbb^3

. Allgemeiner werden Mischungen von Quantenzuständen, also Quantensysteme mit zufälligen Wellenfunktionen, durch Dichteoperatoren (statistische Operatoren) beschrieben. Dichteoperatoren treten auch auf bei der Projektion eines zusammengesetzten quantalen Systems auf ein Teilsystem durch Bildung der partiellen Spur. Ob die Wellenfunktionen (Vektoren vom Betrag 1 im Hilbertraum) oder Dichteoperatoren das fundamentalere Konzept sind, ist auch heute noch philosophisch umstritten. Jede Beobachtungsgröße, in der Quantenmechanik Observable genannt, wird in der von-Neumannschen Beschreibung durch einen selbstadjungierten (vergröbert ausgedrückt:hermiteschen) linearen Operator auf diesem Raum beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Observable in einem bestimmten Zustand ergibt sich aus dem Spektrum des zugehörigen Operators. Falls der Operator ein diskretes Spektrum besitzt, nimmt die Observable bei einer Messung nur diese diskreten Eigenwerte an. Nachdem eine Messung ausgeführt und ein Eigenwert gemessen wurde, befindet sich das System in dem Eigenvektor zum gemessenen Eigenwert; die Messung ist also irreversibel, indem das System von einem Zustand in einen anderen übergegangen ist. In dieser mathematischen Beschreibung wird Heisenbergs Unschärferelation zu einem Theorem über nichtkommutierende Operatoren: Wenn der Aufenthaltsort eines Teilchens gemessen wird, hat man zwar genauere Informationen über seinen Ort; Das System geht dadurch aber in einen neuen Zustand über, in dem der Impuls um so weniger bekannt ist. Ortsdarstellung und Impulsdarstellung der Wellenfunktion lassen sich durch Fouriertransformation ineinander überführen; Eine enge Ortsverteilung muss durch Überlagerung von Frequenzen (~Impulsen) aus einem breiten Band entstehen und umgekehrt. Damit ist die Impulsinformation des vorherigen Zustandes verloren. Nur wenn zwei (Mess)operatoren kommutieren, oder unabhängig voneinander sind, lassen sich zwei Messwerte unabhängig voneinander bestimmen Erst in neuerer Zeit ist eine allgemeinere mathematische Beschreibung von Observablen durch positiv-operatorwertige Wahrscheinlichkeitsmaße (positive operator valued probability measures, POVM) entstanden, die in der traditionellen Lehrbuchliteratur noch kaum behandelt wird. Operationen auf Quantensystemen werden in der modernen, aber noch wenig bekannten Version der Quantenmechanik durch "completely positive maps", vollständig positive Abbildungen, sehr umfassend und mathematisch elegant beschrieben. Diese Theorie verallgemeinert sowohl die unitäre Zeitentwicklung als auch die oben beschriebene traditionelle von-Neumannsche Beschreibung der Veränderung eines Quantensystems bei einer Messung. Konzepte, die nur schwer im traditionellen Bild beschrieben werden können, wie z.B. kontinuierlich ablaufende unscharfe Messungen, fügen sich problemlos in diese neuere Beschreibung ein.

Objektiver Zufall

Akzeptiert man das mathematische Modell der Quantenmechanik als vollständige Beschreibung der physikalischen Phänomene in ihrem Anwendungsbereich, stellt man fest, dass beim Messprozess der zufällige Ausgang eines Einzelexperiments eine andere Bedeutung erhält, als dies in klassischen statistischen Theorien der Fall ist. Selbst bei bestmöglicher Präparation eines quantenmechanischen Zustands verteilen sich die Messergebnisse bestimmter Beobachtungsgrößen zufällig über eine Anzahl möglicher Messergebnisse. Im Gegensatz z. B. zur statistischen Mechanik liegt dies allerdings nicht an der Unfähigkeit des Experimentators den Zustand exakt zu präparieren und auch nicht an der Unzulänglichkeit der Messgerätes, sondern stellt im Rahmen der Standardinterpretation der Quantenmechanik eine prinzipielle Beschränkung der Messung dieser Beobachtungsgröße in diesem Zustand dar. Die Sichtweise, dass die Quantenmechanik trotz ihrer Unfähigkeit, Messergebnisse in Einzelexperimenten definit zu beschreiben, die vollständige Naturbeschreibung liefert, drückt sich daher auch in der Meinung aus, dass es gar keine objektiv existierenden Eigenschaften des Einzelsystems gibt, die mit einem einzelnen Messergebnis korrespondieren. Eine objektive Eigenschaft eines quantenmechanischen Zustands im Kontext einer Messung ist vielmehr nur die statistische Verteilung der Messergebnisse bei Messung eines ganzen Ensembles. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch vom objektiven Zufall in der Quantenmechanik.

Schlüsselexperimente/Gedankenexperimente

- Dass Quantenphänomene nichtlokal sein können, verdeutlicht das Paradoxon von de Broglie.
- Das EPR-Experiment (ein Gedankenexperiment von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen) und damit zusammenhängend die Bellsche Ungleichung und das real durchgeführte Aspect-Experiment zeigen klar die Unverträglichkeit der Quantenmechanik mit einer Theorie ausschließlich lokaler verborgener Variablen. Nichtlokale Interpretationen der Quantentheorie mit verborgenen Variablen werden dadurch nicht ausgeschlossen.
- Das Messproblem und das Problem der Verständlichkeit werden - neben anderen grundlegenden Eigenschaften der Quantenmechanik - am Doppelspaltexperiment sichtbar. Die hier gezeigte scheinbare Doppelnatur von physikalischen Objekten als Teilchen und Welle führte Niels Bohr auf die Idee des Welle-Teilchen-Dualismus: Wellen- und Teilchenmodell als zwei komplementäre Sichtweisen, die beide für ein vollständiges Verständnis notwendig sind und sich dennoch gegenseitig ausschließen. Außerdem zeigt das Doppelspaltexperiment das unterschiedliche Verhalten des Systems mit und ohne Messung.
- Schrödingers Katze, ein Gedankenexperiment von Erwin Schrödinger wirft die Frage nach der Realität nichtbeobachteter Phänomene auf.
- Wigners Freund ist eine Variation von Schrödingers Katze, wobei die Betonung auf den Einfluss des menschlichen Bewusstseins auf den Messprozess gelegt wird.
- Wechselwirkungsfreie Messung (Bomben-Experiment)

Interpretation

Die Debatte zu den obigen Fragen eröffneten Albert Einstein: „Die Quantenmechanik ist unvollständig“ und „Gott würfelt nicht“ und Niels Bohr, der die Komplementarität betonte und Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation verteidigte. Im Lauf der mehrjährigen heftigen Diskussion musste Einstein die Unbestimmtheitsrelation akzeptieren, während Bohr seine Idee der Komplementarität deutlich abschwächte, was zur heute vorherrschenden Kopenhagener Interpretation führte. Heute gehen Physiker mehrheitlich davon aus, dass die Quantentheorie alles beschreibt, was es über ein System zu wissen gibt, und dass die Messvorgänge irreduzibel sind und nicht nur unser beschränktes Wissen reflektieren. Diese Interpretation hat im Weiteren zur Folge, dass der Akt des Beobachtens die Schrödingergleichung umgeht und das System instantan in einen Eigenzustand fällt (der so genannte Zusammenbruch der Wellenfunktion). Neben der Kopenhagener Interpretation sind aber auch verschiedene andere nennenswerte Deutungen vorgeschlagen worden.
- David Bohm hat eine nichtlokale Theorie mit verborgenen Variablen entwickelt, wobei die Wellenfunktion als Führungswelle des Teilchens interpretiert wird. Diese Theorie liefert exakt die gleichen empirischen Voraussagen wie die Kopenhagener Interpretation der nichtrelativistischen Quantenmechanik, so dass experimentell nicht zwischen beiden unterschieden werden kann. Obwohl diese Theorie deterministisch ist, verhindert die Heisenbergsche Unschärferelation, dass der Zustand der verborgenen Variablen jemals genau bekannt sein kann. Zusammen mit der in der Bohmschen Theorie postulierten Quantengleichverteilungs-Hypothese hat das zur Folge, dass Messresultate wie bei der Kopenhagener Deutung entsprechend dem Quadrat der Wellenfunktion statistisch verteilt erscheinen. Bisher ist noch nicht abschliessend gesichert, dass diese Theorie auch auf die relativistische Quantenmechanik erweitert werden kann. Ähnliche Theorien mit verborgenen Variablen stammen von Louis de Broglie und anderen.
- Hugh Everetts Viele-Welten-Interpretation behauptet, dass alle von der Quantentheorie nicht ausgeschlossenen Möglichkeiten tatsächlich gleichzeitig geschehen, und zwar in einem Viel-Welt-Universum von meist unabhängigen Paralleluniversen. Diese Interpretation kommt ohne "Zusammenbruch" der globalen Wellenfunktion beim Messprozess aus; vielmehr entwickelt sich die globale "Viele-Welten-Wellenfunktion" deterministisch. Die Tatsache, dass wir Zufälligkeit und scheinbar einen Zusammenbruch der Wellenfunktion beobachten, ist dann darauf zurückzuführen, dass wir subjektiv nur ein Universum beobachten können, während andere Kopien von uns in anderen Universen anderes beobachten. In Everetts Interpretation ist die Messung ein Vorgang, welcher von einer regulären Schrödingergleichung beschrieben werden kann und keine spezielle Behandlung verlangt.
- Eine andere Richtung versucht, durch eine Abänderung der klassischen Logik in eine Quantenlogik die Interpretationsprobleme zu beseitigen.
- Eugene Paul Wigner stellte die Theorie der Bewusstseinswellen auf, mit der er insbesondere das Messproblem zu umgehen hofft.
- Die von John G. Cramer entwickelte sog. Transaktionsinterpretation basiert auf Emitter-Absorber-Wechselwirkungen, die sowohl in die Zukunft als auch in die Vergangenheit gerichtet sind. Diese Interpretation ist ebenso wie die bohmsche nichtlokal und kausal und sie vermeidet einen beobachterabhängigen Kollaps des Quantenzustands durch den Messprozess [http://mist.npl.washington.edu/npl/int_rep/tiqm/TI_toc.html].

Anwendungen

Quantenmechanische Erklärungen für das Verhalten von Transistoren und Dioden sind Grundlage der gesamten Mikroelektronik. Quantenmechanik war für die Entwicklung von Lasern, Elektronenmikroskopen, und für die Magnetresonanztomographie besonders wichtig. Rechnergestützte Chemie ist eigentlich angewandte Quantenmechanik auf einem Computer. Die moderne Mikrobiologie, Gentechnologie und die Kernphysik wären ohne detaillierte Kenntnisse der Quantenphysik nicht denkbar. Auch die Festkörperphysik greift häufig auf Erkenntnisse der Quantenphysik zurück. Eine unmittelbare Anwendung der speziellen Gesetze der Quantenmechanik wird im Bereich der Quanteninformation untersucht. Es werden große Anstrengungen unternommen, einen Quantencomputer zu bauen, welcher durch Ausnutzung der verschiedenen Eigenzustände und der Wahrscheinlichkeitsnatur eines quantenmechanischen Systems hochparallel arbeiten würde. Einsatzgebiet eines solchen Quantenrechners wäre beispielsweise das Knacken moderner Verschlüsselungsmethoden. Im Gegenzug hat man mit der Quantenkryptographie ein System zum theoretisch absolut sicheren Schlüsselaustausch gefunden, in der Praxis ist diese Methode häufig etwas abgewandelt und unsicherer, da es hier auch auf die Übertragungsgeschwindigkeit ankommt.

Erweiterungen

Wichtige Erweiterungen der Quantenmechanik sind die Quantenfeldtheorien und verschiedene Ansätze zur relativistischen Quantenmechanik wie die Diracgleichung und die Klein-Gordon-Gleichung.

Geschichte

Die Quantenmechanik als exakte physikalische Theorie nahm ihren Ursprung in der Untersuchung der Spektrallinien des Wasserstoffs. 1913 postuliert Niels Bohr diskrete Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom, um die Spektrallinien zu erklären (Bohrsches Atommodell). Mit den seit 1925 von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger unabhängig voneinander entwickelten theoretischen Grundlagen (Wellenmechanik, Matrizenmechanik, die sich später als zwei Sichtweisen einer Theorie herausstellten) stand dann erstmals eine quantitative Theorie zur Verfügung. Sie konnte in Analogie zur klassischen Mechanik (Korrespondenzprinzip) aufgebaut werden, und übernahm viele Prinzipien (Prinzip der kleinsten Wirkung), ergänzte sie aber um ein neues Prinzip (Operatoren ersetzen Variablen). Die Schrödingergleichung beschreibt in der hier entwickelten Theorie sowohl die möglichen Zustände eines Systems (zeitunabhängige oder statische Schrödingergleichung) als auch die zeitliche Entwicklung eines Systems (allgemeine Schrödingergleichung). Dabei wird der Zustand eines Systems durch ein Element eines Vektorraumes (genauer eines Hilbertraumes) gegeben; man spricht je nach Sichtweise von der Wellenfunktion (in der Wellenmechanik) oder von Zustandsvektor (in der Matrizenmechanik). In Folge dieser Entwicklung formulierte Heisenberg im Jahre 1927 seine Unschärferelation. Die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik hat etwa um die gleiche Zeit Form angenommen. Eine formal-mathematische Rechtfertigung der Quantenmechanik wurde im Jahre 1932 durch John von Neumann erbracht.

Weitere Entwicklungen

Louis de Broglie stellte als erster die später bestätigte Vermutung auf, dass Materie auch Welleneigenschaften aufweist (siehe Welle-Teilchen-Dualismus). Paul A. M. Diracs Formulierung der Dirac-Gleichung im Jahre 1928 war die erste erfolgreiche Vereinigung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie zur relativistischen Quantenmechanik. In Abgrenzung von dieser wird die bislang besprochene Quantenmechanik auch nichtrelativistische Quantenmechanik genannt. Ein weiterer Schritt war die Entwicklung der Quantenfeldtheorien. Als erste wurde die Quantenelektrodynamik (QED) von 1940 an formuliert. Sie wurde maßgeblich von Richard Feynman, F. J. Dyson, Julian Schwinger und Shinichiro Tomonaga entwickelt. In Verallgemeinerung entstanden hieraus die Quantenfeldtheorien der schwachen Wechselwirkung und der starken Wechselwirkung. Bislang ist es nicht gelungen, eine Quantentheorie der Gravitation zu formulieren. Die Viele-Welten-Interpretation wurde 1956 von Hugh Everett III formuliert (unter dem Namen Relative State Interpretation, also relativer Zustand-Interpretation). Die Quantenchromodynamik wurde 1964 von Greenberg und Nambu vorgeschlagen.

Einige Zitate

:Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben.- Erwin Schrödinger über Quantenmechanik :Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmechanik zu tun haben, haben sie nicht verstanden. - Niels Bohr :Ich kann mir nicht vorstellen, daß der Liebe Gott mit Würfeln spielt! - Albert Einstein :Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat. - Niels Bohr : Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik versteht. (I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics.) - Richard Feynman :Die Feststellung, dass die gegenwärtigen Wandlungen unseres Wertsystems viele Wissenschaftszweige beeinflussen werden, mag jene überraschen, die an eine objektive, wertfreie Wissenschaft glauben; sie ist jedoch eine der wichtigen Implikationen der Neuen Physik. Heisenbergs Beiträge zur Quantentheorie, (...) führen eindeutig zu der Erkenntnis, dass das klassische Ideal wissenschaftlicher Objektivität nicht mehr aufrechterhalten werden kann. - Fritjof Capra :I am still confused, but on a higher level. (Ich bin immer noch verwirrt, aber auf einem höheren Niveau.) - Enrico Fermi

Philosophische Fragen

Obwohl die Quantenmechanik zu extrem präzisen Vorhersagen führt, hat ihre Interpretation eine heftige philosophische Debatte ausgelöst. Im Vordergrund der Diskussion stehen fünf Fragen: # Kausalität: Gibt es in der Natur einen Zufall oder sind die Naturgesetze deterministisch? #Realität: Gibt es eine reale Außenwelt? Steht mein Haus noch da, auch wenn ich nicht zu Hause bin? #Lokalität / Separabilität: Laufen alle Wechselwirkungen lokal ab, oder gibt es Fernwirkungen? Sind weit voneinander entfernte Ereignisse unabhängig voneinander? #Verständlichkeit: Kann die Welt mit einer widerspruchfreien Theorie beschrieben werden, GUT genannt, oder braucht man zu einer vollständigen Beschreibung mehrere komplementäre (sich ausschließende) Theorien? #Messproblem: Während sich die Wahrscheinlichkeitsfunktionen des ungemessenen Systems deterministisch verhalten, sind die Observablen zufällig auf die möglichen Eigenwerte verteilt, und die weitere Entwicklung des Systems hängt vom tatsächlich gemessenen Wert ab. Woher kommt diese unterschiedliche Dynamik zwischen Messung und unbeobachteter Natur, wenn doch der Messapparat auch Teil der Natur ist? Dass diese Fragen keineswegs trivial sind, verdeutlichen verschiedene Gedankenexperimente, die z. T. konkretisiert und auch real durchgeführt wurden.

Siehe auch

- Portal:Physik
- Faktisches
- Dichtematrix
- harmonischer Oszillator
- anharmonischer Oszillator
- Spektroskopie
- Gruppentheorie
- Teilchen im Kasten

Literatur

- Cohen-Tannoudji, Claude: Quantenmechanik, ISBN 3-11-016458-2
- Dawydow, A.S: Quantenmechanik, ISBN 3527402578
- Fließbach, Torsten: Quantenmechanik, ISBN 3-8274-0996-9
- Tony Hey und Patrick Walters: Das Quantenuniversum, ISBN 3-8274-0315-4
- Baumann K. und Sexl R.U. (Hrsg.): Die Deutungen der Quantentheorie, ISBN 3-5280-8540-1
- Passon O.: Bohmsche Mechanik. ISBN 3-8171-1742-6
- Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 5/1 (Quantenmechanik - Grundlagen), ISBN 3-540-40071-0
- Nolting, Wolfgang: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 (Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen), ISBN 3-540-40072-9

Weblinks

- [http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/ Münchener Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik] (Universität München)
- [http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html Physik des Monats April: Quantenmechanik] (Universität Bonn)
- [http://www.physik.uni-muenchen.de/leifiphysik/web_ph12/materialseiten/m09_quanten.htm Versuche und Aufgaben zur Quantenmechanik]
- [http://pauli.uni-muenster.de/menu/Lehre/quant-skript/skriptum-h.html Quantentheorie] (Westfälische Wilhelms-Universität Münster) Kategorie:Quantenphysik Kategorie:Physik ja:量子力学 ko:양자역학

Hermitesche Funktion

Die Hermiteschen Funktionen erhält man aus den Hermiteschen Polynomen, indem man diese mit der Gaußschen Normalverteilung multipliziert. Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer orthonormalen Basis, ähnlich der Sinus-/Kosinusfunktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (Fourieranalyse) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse. Singuläre Ereignisse werden in der Regel durch Intensität, Mittelwert und Standardabweichung charakterisiert. Diese Kennwerte können aber für verschiedene, sehr unterschiedliche Ereignisse identisch sein, so dass sie für die Charakterisierung nicht ausreichen; Daher bestimmt man die sogenannten "höheren statistischen Momente" als weitere Vergleichsgrößen. Diese sind jedoch sehr empfindlich auf Rauschen und Drift der Nulllinie und daher nur bedingt geeignet. Entwickelt man eine Verteilung in Hermiteschen Funktionen, so sind die Koeffizienten sehr stabil, da die Funktionen nur im zentralen Bereich leben und somit weiter außenliegende Messdaten geeignet bedämpfen. Die Entwicklung einer ein Ereignis repräsentierenden Funktion nach Hermiteschen Funktionen hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Wavelet-Transformation. Kategorie: Statistik

Normalverteilung

Die Gauß- oder Normalverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gauß-Kurve, Gauß-Glocke oder Glockenkurve genannt. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass eine Summe von

n

unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen in der Grenze

n\rightarrow\infty

normalverteilt ist. Viele natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftliche Vorgänge lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). Die Normalverteilung ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsdichte :

f(x)= \frac\,
e^

, wobei

\sigma

die Standardabweichung und

\mu

der Erwartungswert ist.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable

X

mit der Wahrscheinlichkeitsdichte :

f:\R\to\R,\ x\mapsto \frac\,
e^

heißt

\mu

\sigma

-normalverteilt. Hierbei ist
-

\mu=E(X)

der Erwartungswert,
-

\sigma=\sigma(X)

die Standardabweichung und
-

\sigma^2=V(X)

die Varianz von

X

. In der Literatur wird auch die Bezeichnung

(\mu,\sigma^2)

-normalverteilt (das Quadrat ² wird dabei immer explizit geschrieben) oder ähnliches verwendet. Zur Beschreibung der Eigenschaft der Zufallsvariable

X

\mu

\sigma

-normalverteilt zu sein, verwendet man die Notation

X \sim \mathcal(\mu, \sigma^2)

Eigenschaften

Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist gegeben durch :

F(x) = \frac  \cdot \int_^ e^ \mathrmt

. Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte

f:\R\to\R

ist eine Gauß'sche Glockenkurve, welche symmetrisch zum Wert von

\mu

ist und deren Höhe und Breite von

\sigma

abhängt. An der Stelle

\mu

liegt dabei der Hochpunkt und an

\mu-\sigma

und

\mu+\sigma

befinden sich die Wendepunkte der Kurve (siehe hierzu auch Kurvendiskussion). Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der Kurve gleich 1 ist, also der Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses entspricht. Somit folgt, dass wenn zwei Gauß'sche Glockenkurven dasselbe

\mu

, aber unterschiedliche

\sigma

Werte haben, jene Kurve mit dem größeren

\sigma

breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert von 1 haben und nur die Standardabweichung (oder " Streuung") höher ist). Zwei Glockenkurven mit dem gleichen

\sigma

, aber unterschiedlichen

\mu

haben gleich aussehende Graphen, die jedoch auf der x-Achse um die Differenz der

\mu

-Werte zueinander verschoben sind. Da sich das Integral der Verteilungsfunktion nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe dazu die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung); heutzutage sind entsprechende Zellenfunktionen in üblichen Tabellenkalkulationsprogrammen stets verfügbar. Tabellen wie Zellenfunktionen gelten aber in der Regel nicht für beliebige

\mu

und

\sigma

Werte, sondern nur für die Standardnormalverteilung, bei der

\mu=0

und

\sigma=1

ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung oder normierten Normalverteilung). Die Tabellen sind also für die Wahrscheinlichkeitsfunktion

\Phi

mit :

\Phi(z)=\frac \cdot  \int_^ e^ \mathrmt

ausgelegt. Analog dazu wird die zugehörige normierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

f

mit

\phi

bezeichnet. Ist nun eine beliebige

\mu

\sigma

-Verteilung gegeben, so muss diese nur in eine Standardnormalverteilung transformiert werden.

Transformation zur Standardnormalverteilung (Z-Transformation)

Ist eine Normalverteilung mit beliebigen

\mu

und

\sigma

gegeben, so kann diese durch eine Transformation auf eine 0-1-Normalverteilung zurückgeführt werden. Dazu wird die Verteilungsfunktion

F(x)

der allgemeinen Normalverteilung mit

u=\frac

substituiert und die Integralgrenzen werden angepasst: :

F(x) = \frac  \cdot \int_^ e^ \mathrmt =

= \frac  \cdot \int_^ e^ \mathrmu \cdot \sigma=

= \frac  \cdot \int_^ e^ \mathrmu=

=\Phi \left(\frac\right)

Wird nun

z:= \frac

definiert und

u

durch

t

ersetzt, so erhält man die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: :

\Phi(z)=\frac \cdot  \int_^ e^ \mathrmt

Anmerkung: Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substition einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von

N(\mu;\sigma)

zur Glockenkurve von

N(0;1)

Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ::So sieht die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung aus. Angegeben sind die Intervalle im Abstand 1, 2 und 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0, die rund 68%, 95,5% und 99,7% der Fläche unter der Glockenkurve umfassen. Die gleichen Prozentsätze gelten für alle Normalverteilungen in Bezug auf die entsprechenden Erwartungswerte und Standardabweichungen. Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung, die nicht direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft aber mit wachsendem n sehr schnell, so dass schon die Verteilung einer Summe von 30 oder 40 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ähnlich ist. Die Glockenkurve schmückte neben dem Portrait von Carl Friedrich Gauß von 1989 bis 2001 die 10-DM-Banknote der Bundesrepublik Deutschland.

Rechnen mit der Standardnormalverteilung

Bei Aufgabestellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedesmal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach das Ergebnis der Transformation verwendet, um die Grenzen

x_1

x_2

und die Zufallsvariable

X

auf die Grenzen

z_1

z_2

und die Zufallsvariable

Z

anzugleichen. Somit kann eine

N(\mu;\sigma^2)

Verteilung durch :

z=\frac

beziehungsweise

Z=\frac

N(0;1)

transformiert werden. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, welches z.B. innerhalb der Werte

x_1

und

x_2

(für den Erwartungswert

\mu

und die Standardabweichung

\sigma

) liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich der Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung mit den neuen Grenzen

z_1

und

z_2

: :

P( x_1 \leq X \leq x_2 ) = P\left( \frac  \leq Z= \frac  \leq  \frac \right)= P(z_1 \leq Z \leq z_2)

(

P

steht für die französische Bezeichnung "probabilité" der Wahrscheinlichkeit)

Grundlegende Fragestellungen

Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert

x

an, d.h. es wird das bestimmte Integral von

-\infty

bis

x

berechnet. Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten Wahrscheinlichkeit, bei der die Zufallsvariable

X

kleiner oder kleiner gleich einer bestimmten Zahl

x

ist. Durch die Verwendung der reellen Zahlen und der Stetigkeit der Normalverteilung macht es keinen Unterschied ob nun

<

oder

\leq

verlangt ist, :weil

P(X = 3) = \int_3^3 f(x)dx = 0

und somit

P(X<3) = P(X \leq 3)

. Dasselbe gilt für größer und größer gleich. Dadurch, dass

X

nur kleiner oder größer einer Grenze (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen) liegen kann, ergeben sich für Aufgaben bei normalverteilten Wahrscheinlichkeitsberechnungen folgende zwei grundlegende Fragestellungen:
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normal verteilte Zufallsvariable

Z

höchstens den Wert

z

annimmt?
- :

P(Z \leq z)=\Phi(z)

: In der Schulmathematik wird für diese Aussage auch die Bezeichnung Linker Spitz verwendet, da die Fläche unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für

z

sind auch negative Werte erlaubt, trotzdem haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge. Durch die Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel des linken Spitz stellt dies aber keine Einschränkung dar: ::

\Phi(-z)=1-\Phi(z)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsversuch die normalverteilte Zufallsvariable

Z

mindestens den Wert

z

annimmt? ::

P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)

:Analog wird hier oft die Bezeichnung Rechter Spitz verwendet. Ebenso gibt es eine Negativitätsregel: ::

P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)

(Da jede Zufallsvariable

X

der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsgröße

Z

der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend)

Streubereich und Antistreubereich

Der Streubereich gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, dass die normalverteilte Zufallsvariable

Z

Werte zwischen

z_1

und

z_2

annimmt: :

P(z_1 \leq Z \leq z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (

z_1=-z_2

, mit

z_2>0

) gilt: :

P(-z \leq Z \leq z ) = P (|Z| \leq z) =

= \Phi(z)-\Phi(-z) =\Phi(z)-(1-\Phi(z))=

=2 \cdot \Phi(z)-1

Hingegen gibt der Antistreubereich die Höhe der Wahrscheinlichkeit an, dass die normalverteilte Zufallsvariable

Z

Werte außerhalb des Bereichs zwischen

z_1

und

z_2

annimmt: :

P(Z \leq z_1) \mbox P(Z \geq z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2))

Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich: :

P(Z \leq -z) \mbox P(Z \geq z) = P(|Z| \geq z)=

=\Phi(-z)+1-\Phi(z)= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)=

=2-2\cdot \Phi(z)

Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung

Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z.B. bei der Qualitätssicherung von technischen oder wirtschaftlichen Produktionsprozessen. Hier gibt es einzuhaltende Toleranzgrenzen

x_1

und

x_2

, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand

\epsilon

vom Erwartungswert

\mu

(= dem optimalen Sollwert) gibt.

\sigma

kann hingegen empirisch aus dem Produktionsprozess gewonnen werden. Wurde

[x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]

als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor. Im Falle des Streubereiches gilt: :

P(x_1 \leq X \leq x_2) = P(|X-\mu|\leq\epsilon)=

=P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon) = P\left(\frac \leq Z \leq \frac\right)=

=\Phi\left(\frac\right)-\Phi\left(\frac\right)=

= 2 \cdot \Phi\left(\frac\right)-1 =\gamma

Der Antistreubereich ergibt sich dann aus :

P(|X-\mu|\geq \epsilon )= 1-\gamma

oder wenn kein Streubereich berechnet wurde durch :

P(|X-\mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1-\Phi\left(\frac \right)\right)=\alpha

. Das Ergebnis

\gamma

ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während

\alpha

die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von

\mu

\sigma

und

\epsilon

abhängig ist. Ist bekannt, dass die maximale Abweichung

\epsilon

symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Allgemeines

Um 1900 postulierte Max Planck das Energiequantum

h\nu

um die Energieverteilung der schwarzen Strahlung erklären zu können und es wurde daraufhin in vielen anderen Erscheinungen der Natur wiederentdeckt. Der bis dahin geltende Satz 'natura non facit saltus' - die Natur macht keine Sprünge - wurde wirksam widerlegt und zeigt auch, dass viele Phänomene, die oberflächlich für stetig gehalten werden, bei sehr genauer Betrachtung doch nichtstetig bzw. sprunghaft sind. Die Normalverteilung liefert für diese Vorgänge eine sehr gute Approximation, denn viele endliche Zufallsvariablen sind näherungsweise normalverteilt. Eine in der Natur oft anzutreffende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung. Auch sie lässt sich in sehr guter Näherung mit der Normalverteilung beschreiben. Mathematisch wird dies durch den Grenzwertsatz belegt: Er besagt (in diesem Fall), dass sich die nichtstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich aus

n

voneinander unabhängig Zufallsgrößen ergibt, mit steigenden

n

immer besser an die Normalverteilung angleicht.

n

ist dabei die Anzahl der voneinander unabhängigen Zufallsversuche, von denen jeder einzelne eine Zufallsgröße ergibt. Ein Beispiel für diese Angleichung der Häufigkeitsverteilung an die Normalverteilung ist folgender Würfelversuch: Gegeben seien zwei normale Würfel, wobei jeder eine Augenzahl von eins bis sechs aufweist. Sie sollen nun

n

mal geworfen werden, d.h. es werden

n

voneinander unabhängige Zufallsversuche durchgeführt. Bei jedem Versuch berechnet sich das Ergebnis aus der Gesamtanzahl der geworfenen Augen. Insgesamt werden einige hundert Würfe gemacht, wobei die Anzahl der gleichen Ergebnisse gezählt wird. Diese Häufigkeit kann anschließend in ein Diagramm eingetragen werden. Die resultierende Verteilung ist bei sehr wenigen Würfen rein zufällig, bei sehr hohen

n

wird sie hingegen der Gauß'schen Glockenkurve (mit dem Erwartungswert von 7) immer ähnlicher, trotzdem ist sie immer noch diskret verteilt (d.h. der Graph besteht aus kleinen Stufen).

Approximation

Ist eine Binomialverteilung (siehe auch Bernoulli-Versuch) mit

n

voneinander unabhängigen Stufen (bzw. Zufallsversuchen) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit

p

gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für

k

Erfolge allgemein durch

P(X=k)=  \cdot p^k\cdot q^

für

k=0,1,\dots,n

berechnen (wobei

q=1-p

ist). Für sehr große Werte von

n

kann diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Dabei ist
- der Erwartungswert

\mu=n\cdot p

- und die Standardabweichung

\sigma=\sqrt

Ist nun

\sigma > 3

, dann ist folgende Näherung brauchbar: :

P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace_ \approx \underbrace_

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation bei einer geringen Standardabweichung

\sigma

gewährleisten zu können. Dies nennt man auch Stetigkeitskorrektur. Nur wenn

\sigma

einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden. Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden:
-

<

oder

\leq

(und auch größer und größer gleich) müssen beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei

P(X_die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d.h. 
:: P(X_bzw. P(X_>x)=P(X_\geq x+1) :damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.
:z.B. P(X_<70)=P(X_\leq 69)

- Außerdem ist ::

P(X_ \leq x) = P(0 \leq X_ \leq x)

P(X_ \geq x) = P(x \leq X_ \leq n)

P(X_ = x) = P(x \leq X_ \leq x)

(unbedingt mit Stetigkeitskorrektur) :und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen. Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können.

Simulation normalverteilter Zufallsvariablen

Box-Muller-Methode

Nach der Box-Muller-Methode lässt sich eine standardnormalverteilte Zufallsvariable

X

aus zwei gleichverteilten Zufallsvariablen

u_1,u_2 \sim U(0,1)

, sogenannten Standardzufallszahlen, simulieren: :

X=\sqrt\;\cos(2\pi u_2)

Polar-Methode

Die Polar-Methode von Marsaglia ist auf einem Computer noch schneller, da sie nur einen Logarithmus benutzt: #Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen

u_1,u_2=U(0,1)

#Berechne

v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2

. Falls

v \ge 1

wiederhole 1. #

x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^

Durch lineare Transformation lassen sich hieraus auch beliebige normalverteilte Zufallszahlen generieren: Ist die Zufallsvariable

X \sim \mathcal(0,1)

-verteilt, so ist aX+b schließlich

\mathcal(b,a^2)

-verteilt.

Zwölferregel

Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt, dass sich die Summe unabhängiger gleichverteilter Zufallszahlen einer Normalverteilung nähert. Ein Spezialfall ist die Zwölferregel, die sich auf die Summe von 12 Zufallszahlen aus dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt.

Verwerfungsmethode

Normalverteilungen lassen sich mit der Verwerfungsmethode (s. dort) simulieren.

Besondere Eigenschaften

Die Normalverteilung ist invariant gegenüber Faltung, d.h. die Faltung einer Gaußkurve der Halbwertsbreite

\Gamma_

mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite

\Gamma_

ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite

\Gamma_ = \sqrt

Die Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, d.h. die Fourier-Transformierte einer Gaußkurve ist wieder eine Gaußkurve. Das Produkt der Standardabweichungen dieser korrespondierenden Gaußkurven ist konstant, es gilt die Heisenbergsche Unschärferelation. Die Normalverteilung hat unter den Verteilungen mit gleicher Varianz die größte Entropie.

Mehrdimensionale Normalverteilung

Entropie Das Wahrscheinlichkeitsmaß

\mathcal^n(0,1)

auf

\mathbb^n

, das durch die Dichtefunktion :

f: \mathbb^n \to \mathbb,\ (x_1,\ldots,x_n) \mapsto 
 \exp\bigg(- \sum_^n x_i^2 \bigg)

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension

n

. Ein Zufallsvektor

X = (X_1,\ldots,X_n)

ist standardnormalverteilt auf

\mathbb^n

genau dann, wenn

X_1,\ldots,X_n

standardnormalverteilt und stochastisch unabhängig sind. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß

P

auf

\mathbb^n

heißt

n

-dimensionale Normalverteilung, wenn eine Matrix

A \in \mathbb^

und ein Vektor

b \in \mathbb^n

existieren, so dass mit der affinen Abbildung

u: \mathbb^n \to \mathbb^n,\ x \mapsto Ax+b

gilt:

u^(P) = \mathcal^n(0,1)

. Die multivariate Normalverteilung ist die einzige rotationssymmetrische multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind. Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit einem Korrelationskoeffizienten

\rho

ist :

f(x_1,x_2)=\frac \, \cdot \, \exp \left[ \left(-\frac\right) \left( \left(\frac\right)^2 -2\rho\,\frac\,\frac+ \left(\frac\right)^2\right)\right]

und schließlich im

n

-dimensionalen Fall :

f_X(x_1, \cdots, x_N)
=
\frac
 
 
\exp
\left(
 -\frac
 ( x - \mu)^\top \Sigma^ (x - \mu)
\right)

mit der Kovarianzmatrix

\Sigma

Siehe auch

Multivariate Verteilung, Wahrscheinlichkeitspapier, Statistik, Inversionsmethode

Weblinks

- http://www.wiso.uni-koeln.de/ASPSamp/eswf/html/glossar/node132.html
- http://barolo.ipc.uni-tuebingen.de/pharma/2/2.2/standard_verteil.html
- http://www.madeasy.de/2/gauss.htm
- Möglichst verständlich mit Programmcode in Visual Basic Kategorie:Statistik Kategorie:Stochastik Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung ja:正規分布 ko:정규 분포

Infanta Isabella Clara Eugenia of Spain

Isabella Clara Eugenia of Spain (Segovia 12 August 1566 – 1 December 1633) was Infanta of Spain, Archduchess of Austria and the joint sovereign of the Seventeen Provinces. In some sources, she is referred to as "Clara Isabella Eugenia".

Biography

Youth and family

Infanta Isabella Clara Eugenia of Spain was born in Segovia on 12 August 1566 as the daughter of Phillip II of Spain and his third wife Elizabeth of Valois. Hence her grandfather was Emperor Charles V, and her grandmother was Catherine de' Medici. Her father Phillip II of Spain was overjoyed over her birth and declared that he was more happy about her birth than the birth of a son. This was a surprise to many, since at that time sons were generally valued much higher than daughters. On the other hand, Phillip did not develop a deep relationship to his son Don Carlos of Spain from his first marriage with Princess Maria of Portugal, and at some times they even worked against each other. Isabella's mother and Phillip's wife, Elizabeth of Valois, was actually initially destined to be the bride of Phillip's son Don Carlos. While this marriage naturally also had the political aim to improve the relations between Spain and France, Phillip actually did fall deeply in love with his most beautiful wife, staying at her side even when she had chickenpox and later the highly contagious smallpox. Despite initial hesitations, Elizabeth eventually returned the love of her husband. Elizabeth's first pregnancy in 1564 ended with a miscarriage of twin girls. On 12 August 1566 Elizabeth gave birth to her first child Isabella Clara Eugenia of Spain. Isabella got a sister Catherine Micaela on October 10 1567. Elizabeth had another a miscarriage on October 3 1568, and died herself due to the complications on the same day. 1568 Isabella grew up together with her sister Catalina, beloved by her father and her stepmother Anna of Austria, Phillip's fourth wife. Anna also gave birth to five more children of Phillip, most of whom died at an early age, except for his heir Philip III of Spain. However, there was nothing in the world that Philip II loved more than his two daughters Isabella and Catalina, especially Isabella. While Philip II had a reputation of being cold, numerous affectionate letters between him and his daughters show a deep fatherly love, with him always signing his letters with Your good father. Isabella was also the only person that was allowed to help Philip II with his work, sorting his papers and frequently translating Italian documents into Spanish. Isabella stayed at her fathers side, especially during his last three years, where he was plagued by the gout and heavy fever before Philip II died on September 13 1598.

Marriage

Since 1568 the age of two, Isabella was promised to marry Rudolf II, Holy Roman Emperor (July 18, 1552, - January 20, 1612), son of Maximilian II, Holy Roman Emperor and Maria, a daughter of Charles V, Holy Roman Emperor. Isabella, however, had to wait for more than 20 years before the eccentric Rudolf declared that he had no intention of marrying anybody. After her uncle, Henry III of France, was assassinated by a young fanatical monk Jacques Clément on August 2, 1589, Phillip II claimed the French crown on behalf of Isabella. However, he had no right to this claim, since France was under the Salic Law, which forbade succession in the female line, and at any rate Philip's second wife and Isabella's mother Elizabeth had to abjure any claims to the French crown with her marriage to Philip II. The Huguenot leader, Henry of Navarre, the rightful king by traditional French inheritance laws, ultimately made good his claim to the throne, converted to Catholicism, and was crowned in 1594. 1594 At age 31, Isabella finally found a husband. On 18 April, 1599, she married her cousin Archduke Albert of Austria, the younger brother of her former fiancé Rudolf II. Albert was the joint sovereign of the Spanish Netherlands and the former viceroy of Portugal. As Albert also was the Archbishop of Toledo, he had to be released from his religious commitments by the Pope. Shortly before Philip II died on September 13, 1598, he renounced his rights to the Netherlands in favor of his daughter Isabella and her husband. Isabella's marriage with Albert is said to have been happy. However, there were no children, and it was rumored that they had a platonic marriage.

Spanish Netherlands

Spanish Netherlands From 1601 they ruled the Spanish Netherlands together, and after Albert's death Isabella became the governor of the Netherlands herself on behalf of the King of Spain. The reign of Albert and Isabella is considered the Golden Age of the Netherlands. The reign of the Archdukes Isabella Clara Eugenia and Albert of Austria is a key period in the history of the Spanish Netherlands. After four decades of war, it brought a period of much-needed peace and stability to the economy of the Southern Netherlands. In addition to economic prosperity, the actions of the Archdukes stimulated the growth of a separate South Netherlandish identity. The Archdukes consolidated the authority of the House of Habsburg over the territory of the Southern Netherlands and largely succeeded in reconciling previous anti-Spanish sentiments. When it became clear that independence would not be possible, the Archdukes' goal became to reincorporate the Southern Provinces into the Spanish monarchy. In pursuit of that goal and to get their political agenda to all Flemish social classes, the Archdukes used the most diverse mediums. The visual arts, with the baroque popularized in the wake of the Catholic Reformation, was the perfect tool. Thus Isabella and her husband stimulated the growth of this artistic movement, which resulted in the creation of the Flemish Baroque. Their patronage of such artists as Rubens, Brueghel, Coebergher, the De Nole family, the Van Veens and many others were the beginning of a Golden Age in the Southern Netherlands. This, coupled with the political configuration of the period, made the Archdukes' Court at Brussels one of the foremost political and artistic centers in Europe of that time. It became the testing ground for the Spanish Monarchy's European plans, a boiling pot full of people of all sorts: from artists and diplomats to defectors, spies and penitent traitors, from Spanish confessors, Italian counselors, Burgundian functionaries, English musicians, German bodyguards to the Belgian nobles. The Treaty of London and the Twelve Years Truce were brought about thanks to the active involvement of the Archdukes in the negotiations. Brussels became a vital link in the chain of Habsburg courts and the diplomatic conduits between Madrid, Vienna, Paris, London, Lisbon, Graz, Innsbruck, Prague and The Hague could be said to run through Brussels. When Albert died in 1621, Isabella joined the order of the Sisters of St. Clare, and became the governor of the Netherlands on behalf of the King of Spain. She was succeded as Governor by Philip IV's brother, the Cardinal-Infante Ferdinand in 1633.
Category:1566 births Category:1633 deaths Category:History of Belgium Category:History of Spain Category:Dukes of Brabant Category:Counts of Flanders Category:Counts of Hainaut

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